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3e2ndeAlgèbre et fonctions

La fonction affine

Comprendre une fonction affine f(x) = ax + b, calculer une image, lire le coefficient directeur. Méthode parent et enfant, exercices corrigés.

Leçon vérifiée et rédigée par Nadia Lefèvre · niveaux : 3e, 2nde

Pour le parent

Comment accompagner votre enfant

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b : c'est une machine qui transforme un nombre x en un autre. On dit que f(3) est l'image de 3.

Deux nombres la définissent : a est le coefficient directeur (la pente, la vitesse à laquelle ça monte ou descend) et b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de départ, f(0) = b). Sa représentation graphique est une droite.

Calculer une image, c'est simplement remplacer x par le nombre demandé et calculer. Attention aux signes quand a est négatif : c'est là que se logent la plupart des erreurs.

Pour l'enfant

Explication simple

Une fonction affine, c'est une machine f(x) = ax + b. Tu mets un nombre x dans la machine, elle te ressort f(x).

Pour calculer f(3) avec f(x) = 2x + 1, tu remplaces x par 3 : f(3) = 2 × 3 + 1 = 7.

On regarde ensemble

Deux exemples résolus

Exemple 1

Calculer une image

Soit f(x) = 2x + 1. Calculer f(3).

  1. Je remplace x par 3 : f(3) = 2 × 3 + 1.
  2. = 6 + 1.

Résultatf(3) = 7

Exemple 2

Coefficient négatif

Soit f(x) = −3x + 5. Calculer f(0) et f(2).

  1. f(0) = −3 × 0 + 5 = 5 (c'est l'ordonnée à l'origine b).
  2. f(2) = −3 × 2 + 5 = −6 + 5.

Résultatf(0) = 5 et f(2) = −1

À toi de jouer

25 exercices corrigés

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  1. 1Soit f(x) = 4x − 2. Calculer f(5).

    Voir la correction
    f(5) = 4 × 5 − 2 = 20 − 2 = 18.

  2. 2Soit g(x) = −x + 3. Calculer g(4).

    Voir la correction
    g(4) = −4 + 3 = −1.

  3. 3Soit f(x) = 0,5x + 2. Calculer f(10).

    Voir la correction
    f(10) = 0,5 × 10 + 2 = 5 + 2 = 7.

  4. 4Soit f(x) = 3x − 7. Quel est le coefficient directeur et quelle est l'ordonnée à l'origine ?

    Voir la correction
    La fonction est de la forme ax + b avec a = 3 et b = −7. Le coefficient directeur est 3 et l'ordonnée à l'origine est −7 (car f(0) = 3 × 0 − 7 = −7).

  5. 5Soit f(x) = −2x + 6. Calculer f(−1).

    Voir la correction
    f(−1) = −2 × (−1) + 6 = 2 + 6 = 8.

  6. 6Soit f(x) = 2x + 4. Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = 10 ?

    Voir la correction
    On résout 2x + 4 = 10. On soustrait 4 : 2x = 6. On divise par 2 : x = 3. Vérification : f(3) = 6 + 4 = 10 ✓.

  7. 7Un taxi facture ses courses selon p(x) = 1,5x + 3, où x est le nombre de kilomètres et p(x) le prix en euros. Combien coûte un trajet de 8 km ?

    Voir la correction
    p(8) = 1,5 × 8 + 3 = 12 + 3 = 15. Le trajet coûte 15 €.

  8. 8Vrai ou faux ? La fonction f(x) = −x + 5 est une fonction décroissante.

    Voir la correction
    Vrai. Le coefficient directeur est a = −1 < 0, donc la droite descend de gauche à droite : la fonction est décroissante.

  9. 9Soit h(x) = 3x + 1. Quelle est l'image de −2 par h ? (A) 7 (B) −5 (C) −7

    Voir la correction
    h(−2) = 3 × (−2) + 1 = −6 + 1 = −5. Réponse : (B).

  10. 10La droite représentant une fonction affine passe par les points A(0 ; 2) et B(1 ; 5). Donner l'expression de f(x).

    Voir la correction
    Le point A(0 ; 2) donne directement b = 2 (ordonnée à l'origine). Le coefficient directeur : a = (5 − 2) ÷ (1 − 0) = 3. Donc f(x) = 3x + 2.

  11. 11Soit f(x) = ax + b avec f(0) = −3 et f(1) = 2. Trouver a et b. (À compléter.)

    Voir la correction
    f(0) = b = −3. f(1) = a + b = 2, donc a = 2 − (−3) = 5. Conclusion : a = 5 et b = −3.

  12. 12Soit f(x) = −4x + 1. Calculer f(−3).

    Voir la correction
    f(−3) = −4 × (−3) + 1 = 12 + 1 = 13.

  13. 13Soit f(x) = 2x − 5. Calculer f(0) et f(3).

    Voir la correction
    f(0) = 2 × 0 − 5 = −5. f(3) = 2 × 3 − 5 = 6 − 5 = 1.

  14. 14Soit f(x) = 5x − 3. Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = 7 ?

    Voir la correction
    On résout 5x − 3 = 7. On ajoute 3 : 5x = 10. On divise par 5 : x = 2. Vérification : f(2) = 10 − 3 = 7 ✓.

  15. 15Parmi ces fonctions affines, laquelle est croissante ? (A) f(x) = −2x + 3 (B) f(x) = 4x − 1 (C) f(x) = −x

    Voir la correction
    Une fonction affine est croissante si son coefficient directeur a > 0. Seule f(x) = 4x − 1 a a = 4 > 0. Réponse : (B).

  16. 16Un plombier facture ses interventions selon f(x) = 50x + 80, où x est le nombre d'heures et f(x) le prix en euros. Combien coûte une intervention de 2 heures ?

    Voir la correction
    f(2) = 50 × 2 + 80 = 100 + 80 = 180. L'intervention coûte 180 €.

  17. 17Vrai ou faux ? La fonction f(x) = 2x + 1 prend la valeur 0 en x = −1/2.

    Voir la correction
    Vrai. f(−1/2) = 2 × (−1/2) + 1 = −1 + 1 = 0. La courbe coupe l'axe des abscisses en x = −1/2.

  18. 18La droite représentant f passe par A(0 ; −1) et B(2 ; 3). Donner l'expression de f(x).

    Voir la correction
    Le point A(0 ; −1) donne directement b = −1. Le coefficient directeur : a = (3 − (−1)) ÷ (2 − 0) = 4 ÷ 2 = 2. Donc f(x) = 2x − 1.

  19. 19Soit f(x) = ax + b avec f(0) = 4 et f(2) = 10. Trouver a et b. (À compléter.)

    Voir la correction
    f(0) = b = 4. f(2) = 2a + 4 = 10, donc 2a = 6 et a = 3. Conclusion : f(x) = 3x + 4.

  20. 20Soit f(x) = −3x + 2. Calculer f(−4).

    Voir la correction
    f(−4) = −3 × (−4) + 2 = 12 + 2 = 14.

  21. 21Une location de vélo coûte f(x) = 3x + 5 euros pour x heures. Combien d'heures peut-on louer avec 20 € ?

    Voir la correction
    On résout 3x + 5 = 20. On soustrait 5 : 3x = 15. On divise par 3 : x = 5. On peut louer pendant 5 heures.

  22. 22Soit f(x) = −x + 7. Quelle est l'image de 7 par f ? (A) 0 (B) 7 (C) 14

    Voir la correction
    f(7) = −7 + 7 = 0. Réponse : (A).

  23. 23Vrai ou faux ? La droite d'équation y = 2x + 3 passe par l'origine (0 ; 0).

    Voir la correction
    Faux. f(0) = 2 × 0 + 3 = 3 ≠ 0. La droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 3), pas en (0 ; 0).

  24. 24Soit f(x) = 0,25x − 1. Calculer f(8).

    Voir la correction
    f(8) = 0,25 × 8 − 1 = 2 − 1 = 1.

  25. 25Un chauffagiste facture 40 € de déplacement fixe plus 30 € par heure. Écrire la fonction affine f(x) donnant le coût total pour x heures, puis calculer le coût pour 3 heures.

    Voir la correction
    La fonction est f(x) = 30x + 40 (coefficient directeur a = 30, ordonnée à l'origine b = 40). f(3) = 30 × 3 + 40 = 90 + 40 = 130. L'intervention coûte 130 €.

Questions fréquentes

On vous répond

Que représente le coefficient directeur a ?
Il indique la pente de la droite : de combien f(x) augmente (ou diminue, si a est négatif) quand x augmente de 1.
Comment calculer l'image d'un nombre ?
On remplace x par ce nombre dans l'expression de la fonction, puis on effectue le calcul. Par exemple, pour f(x) = 2x + 1, f(3) = 7.

Pour aller plus loin

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